Algunos conceptos básicos…

•27 septiembre 2010 • Dejar un comentario

Una manera fácil de entender la teoría de las ciencias, es a través de la conceptualización de los conceptos y la traducción de dichas ideas a un lenguaje gráfico. Para esto existen muchas herramientas del aprendizaje sin embargo hoy aplicaremos una con la que ya hemos venido trabajando anteriormente: el mapa conceptual.

El mapa conceptual que se muestra a continuación, pretende dar una idea clara y concisa de las clasificaciones más generales de la probabilidad. Desde su definición objetiva y subjetiva, los teoremas más comúnes con los que se trabajan y hasta sus variaciones cuando se ha de trabajar la probabilidad condicional.

Espero que les sea de utilidad. Para hacer más grande la imagen, sólo haz click sobre ella; y si por alguna razón no se ve muy clara, deja un comentario con tu correo electrónico y a la brevedad posible, te haré llegar el archivo original.

Probabilidad

•1 septiembre 2010 • 1 comentario

INTRODUCCIÓN. 

Muchos de los eventos que ocurren en la vida diaria no pueden ser predichos con exactitud desde antes por diversas razones, pues la mayoría de los hechos están influidos por factores externos. Además, existen aquellos sucesos que están directamente influidos por el azar, es decir, por procesos que no se está seguro de lo que va a ocurrir. Sin embargo, la probabilidad nos permite acercarnos a esos sucesos y estudiarlos, ponderando las posibilidades de su ocurrencia y proporcionando métodos para tales ponderaciones.

 Precisamente, algunos de esos métodos proporcionados por la probabilidad nos llevan a descubrir que algunos sucesos tienen una mayor o menor probabilidad de ocurrir que la ponderación asignada a través del sentido común. Nuestros sentidos, la información previa que poseemos, nuestras creencias o posturas, nuestras inclinaciones, son algunos de los factores que intervienen para no permitirnos hacer ponderaciones reales y sistemáticas. La probabilidad nos permitirá estudiar los eventos de una manera sistemática y más cercana a la realidad, retribuyéndonos con información más precisa y confiable y, por tanto, más útil para las disciplinas humanas. 

EJEMPLOS.

A continuación, exponemos 3 problemas muy sencillos que muestran muy a groso modo, solo unas cuantas de las aplicaciones de la probabilidad a la vida cotidiana así como su solución matemática, esperando que sean de gran utilidad para ustedes y puedan así comenzar a adrentarse a este universo de conocimientos.

1.- En un estudio de ejercicios aeróbicos, las personas son asignadas de manera aleatoria a cinco grupos de diferentes ejercicios. Escribe una lista de los sucesos elementales de:

a) Espacio Muestral
b) Cada uno de los siguientes eventos:
     A= Se asignan al grupo 3
     B=Asignado a uno de los tres primeros grupos
     C= Asignado al grupo 4 o 5
c) Asignar la probabilidad a cada uno de los sucesos elementales del espacio muestral y la probabilidad del evento.
 

Solución:

 a) Ω = { A1, A2, A3, A4, A5 }
b) A = { A3 }
     B= { A1, A2, A3 }
     C= { A4, A5 }
c) P(A)= 1/5
    P(B)= 3/5
    P(C)= 2/5
  

2.- Se lanza un dado de seis caras:

a) Describe el espacio muestral
b) ¿Cual es la probabilidad de obtener un número mayor que 3? Solución:

a) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
b) P(Número>3)= 1/3
  

3.- Un grupo de personas esta compuesto por 2 niños menores de 12 años, 3 adolescentes y 5 adultos. Se debe seleccionar a una persona al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona sea un adulto?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona sea mayor de 12 años?
 

Solución:

a) P(Adulto)= 1/5
b) P(Persona
>12años)= 4/5

Video: Superposición de Ondas

•7 diciembre 2009 • 8 comentarios

Este video que encontré en youtube, fué realizado por estudiantes de la Universidad del Valle de Guatemala. Ellos exponen de manera rápida y hasta con cierto grado humorístico este tema de la superposición de ondas del que hemos estado hablando.

Espero que les sea de gran utilidad y por favor no olviden dejar sus comentarios.

Superposición de ondas

•7 diciembre 2009 • 10 comentarios

     En esta ocasión vamos a estudiar un tema de gran importancia para la física. Se trata de un método de transferencia de energía que excluye por completo la transferencia de materia, es decir, no necesariamente tiene que existir un contacto entre los cuerpos para que las fuerzas interactúen unas con otras; en otras palabras, podríamos comparar esto  análogamente con un sistema inalámbrico de telecomunicaciones en el que a pesar de la distancia que hay entre los aparatos transmisor y receptor, existe un intercambio de información. Nos estamos refiriendo a la superposición de ondas sin embargo, antes de entrar de lleno al tema, comencemos por explicar algunos de los fundamentos que servirán de base a este conocimiento.

     Una onda (en física) es una perturbación tensional que hace uso de un medio material para propagarse en el espacio-tiempo. El sonido es el ejemplo más conocido de una onda y se propaga por el aire,  por otra parte, los terremotos también son un conjunto de ondas que se propagan por el terreno.

     Las ondas pueden ser clasificadas de muchas maneras, pero por lo general se les hace atendiendo a los siguientes aspectos:

En función del medio en el que se propagan

*Ondas mecánicas: las ondas mecánicas necesitan un medio elástico (sólido, líquido o gaseoso) para propagarse. Las partículas del medio oscilan alrededor de un punto fijo, por lo que no existe transporte neto de materia a través del medio. Como en el caso de una alfombra o un látigo cuyo extremo se sacude, la alfombra no se desplaza, sin embargo una onda se propaga a través de ella. La velocidad puede ser afectada por algunas características del medio como: la homogeneidad, la elasticidad, la densidad y la temperatura. Dentro de las ondas mecánicas tenemos las ondas elásticas, las ondas sonoras y las ondas de gravedad.

*Ondas electromagnéticas: las ondas electromagnéticas se propagan por el espacio sin necesidad de un medio, pudiendo por lo tanto propagarse en el vacío. Esto es debido a que las ondas electromagnéticas son producidas por las oscilaciones de un campo eléctrico, en relación con un campo magnético asociado. Las ondas electromagnéticas viajan aproximadamente a una velocidad de 300000 km por segundo, de acuerdo a la velocidad puede ser agrupado en rango de frecuencia. Este ordenamiento es conocido como Espectro Electromagnético, objeto que mide la frecuencia de las ondas.

*Ondas gravitacionales: las ondas gravitacionales son perturbaciones que alteran la geometría misma del espacio-tiempo y aunque es común representarlas viajando en el vacío, técnicamente no podemos afirmar que se desplacen por ningún espacio, sino que en sí mismas son alteraciones del espacio-tiempo.

En función de su propagación o frente de onda

*Ondas unidimensionales: las ondas unidimensionales son aquellas que se propagan a lo largo de una sola dirección del espacio, como las ondas en los muelles o en las cuerdas. Si la onda se propaga en una dirección única, sus frentes de onda son planos y paralelos.

*Ondas bidimensionales o superficiales: son ondas que se propagan en dos direcciones. Pueden propagarse, en cualquiera de las direcciones de una superficie, por ello, se denominan también ondas superficiales. Un ejemplo son las ondas que se producen en una superficie líquida en reposo cuando, por ejemplo, se deja caer una piedra en ella.

*Ondas tridimensionales o esféricas: son ondas que se propagan en tres direcciones. Las ondas tridimensionales se conocen también como ondas esféricas, porque sus frentes de ondas son esferas concéntricas que salen de la fuente de perturbación expandiéndose en todas direcciones. El sonido es una onda tridimensional. Son ondas tridimensionales las ondas sonoras (mecánicas) y las ondas electromagnéticas.

En función de la dirección de la perturbación

*Ondas longitudinales: son aquellas que se caracterizan porque las partículas del medio se mueven (ó vibran) paralelamente a la dirección de propagación de la onda. Por ejemplo, un muelle que se comprime da lugar a una onda longitudinal.

*Ondas transversales: son aquellas que se caracterizan porque las partículas del medio vibran perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda.

En función de su periodicidad

*Ondas periódicas: la perturbación local que las origina se produce en ciclos repetitivos por ejemplo una onda senoidal.

*Ondas no periódicas: la perturbación que las origina se da aisladamente o, en el caso de que se repita, las perturbaciones sucesivas tienen características diferentes. Las ondas aisladas también se denominan pulsos.

      Cabe mencionar que el medio perturbado a través del cual se propagan puede ser de naturaleza diversa como aire, agua, un trozo de metal, el espacio o el vacío siempre y cuando éstos no sean infinitamente rígidos ni infinitamente flexibles.

     En una onda, la energía de una vibración se va alejando de la fuente en forma de una perturbación que se propaga en el medio circundante hasta desaparecer por completo. El ejemplo más claro que tenemos de este fenómeno en la naturaleza es una piedra arrojada a un lago en que el agua estaba en reposo. Al irrumpir la piedra sobre la tensión superficial del agua y sumergirse, se crean ondas epicéntricas que se expanden en forma circular y que a su vez comienzan con una intensidad máxima y disminuyen cada vez mas conforme avanza el tiempo y se alejan del centro que las generó.

Ahora bien, definamos algunas de las particularidades más importantes que ayudan al control y definición de una onda. Las características principales de una onda cualquiera son:

  • Cresta: La cresta es el punto más alto de dicha amplitud o punto máximo de saturación de la onda.
  • Período (desplazamiento horizontal): El periodo consiste en el tiempo de duración o intervalo de tiempo que este presenta entre dos crestas.
  • Amplitud: La amplitud es la distancia vertical entre una cresta y el punto medio de la onda. Nótese que pueden existir ondas cuya amplitud sea variable, es decir, crezca o decrezca con el paso del tiempo.
  • Frecuencia: Número de veces que es repetida dicha vibración en otras palabras es una simple repetición de valores por un periodo de tiempo determinado.
  • Valle: Es el punto mas bajo de una onda.
  • Longitud de Onda: Distancia que hay entre dos crestas consecutivas.

     Algo importantísimo también para hablar de ondas, es entender que al igual que la luz, también éstas sufren de diferentes efectos al interactuar con el medio en que se propagan, algunos de sus principales efectos son:

Difracción – Ocurre cuando una onda al topar con el borde de un obstáculo deja de ir en línea recta para rodearlo.

Efecto Doppler – Efecto debido al movimiento relativo entre la fuente emisora de las ondas y el receptor de las mismas.

Interferencia – Ocurre cuando dos ondas se combinan al encontrarse en el mismo punto del espacio.

Reflexión – Ocurre cuando una onda, al encontrarse con un nuevo medio que no puede atravesar, cambia de dirección.

Refracción – Ocurre cuando una onda cambia de dirección al entrar en un nuevo medio en el que viaja a distinta velocidad.

Onda de choque – Ocurre cuando varias ondas que viajan en un medio se superponen formando un cono.

Ahora si, estando esto bien fundamentado entremos de lleno al tema de la superposición.

     El principio de superposición o teorema de superposición es un resultado matemático que permite descomponer un problema lineal en dos o más subproblemas más sencillos, de tal manera que el problema original se obtiene como “superposición” o “suma” de estos subproblemas más sencillos.

     Técnicamente, el principio de superposición afirma que cuando las ecuaciones de comportamiento que rigen un problema físico son lineales, entonces el resultado de una medida o la solución de un problema práctico relacionado con una magnitud extensiva asociada al fenómeno, cuando están presentes los conjuntos de factores causantes A y B, puede obtenerse como la suma de los efectos de A más los efectos de B.

     Por tanto, cuando dos ondas se encuentran en un punto o una región del espacio, el resultado es una nueva onda cuya perturbación es la suma de las perturbaciones de las dos ondas originales. Se denomina interferencia al resultado de la superposición de dos o más ondas armónicas.

     En el punto en que se cruzan las ondas (si sigue llegando el tren de ondas) la interferencia se mantiene en el tiempo con las mismas características iniciales de fase o de desfase. Podemos representar los valores de los desplazamientos originados por cada onda respecto a la posición de equilibrio y el efecto de la resultante -suma de amplitudes-. Cuando dos ondas de igual amplitud, dirección y frecuencia interfieren forman una resultante que es la suma de las dos. La suma puede variar entre los siguientes valores:

Si las ondas que interfieren están en fase, la onda resultante tendrá la misma dirección, la misma frecuencia y su amplitud será el doble.

Si su desfase es de 180º se anulan , no dan onda, se desturyen.

Si su desfase se encuentra entre los dos valores anteriores, la onda resultante tendrá la suma/resta de las amplides en cada instante de las dos ondas que interfieren.

La fase inicial entre las ondas que interfiere se mantiene y la resultante tendrá una fase distinta pero tambien constante en el tiempo.

Para dos ondas de igual dirección y frecuencia, pero distinta amplitud y fase que se superponen :

y1 =A1sen ( wt -a1) ; y2 =A2sen ( wt -a2) ; dan como resultante una nueva onda yR=Asen ( wt -a)

de amplitud : A 2=A12+A22+2·A12A22·cos ( a1-a2)

Su fase la hallamos sabiendo que su tangente es:

: tg a =(A1sen a1+A2sen a2) / (A1cos a1+A2cosa2).

     Los valores dados por las fórmulas anteriores son fácies de calcular aplicando el diagrama de Fresnel: son las proyecciones sobre el eje y de los valores de A1 , A2 y la resultante de la superposición es la proyección de A.

y1 =A1sen ( wt -a1) ;
y2 =A2sen ( wt -a2) ;
A 2=A12+A22+2·A12A22·cos ( a1-a2)
El valor instantáneo de la resultante es la proyección de A sobre el eje y.

Si las ondas que interfieren tienen distinta frecuencia, pero con valores próximos, la interferencia da “pulsaciones” o “batidos”.

     Cuando dos cuerdas de guitarra vibran con frecuencias muy próximas pero no idénticas oímos un tono oscilante cuya intensidad varía alternativamente entre un valor alto y uno bajo. La frecuencia de esta variación de intensidad es la frecuencia de batido.

Mapas de conceptos

•15 octubre 2009 • 4 comentarios

     Como ya lo habiamos mencionado antes, los mapas conceptuales son herramientas didácticas que nos permiten visualizar de manera general un tema específico. En este caso, he implementado tres mapas de conceptos relativamente sencillos, que proponen ayudar a dejar aún más claros los temas de la dinámica que hemos estado estudiando recientemente. Espero que les sean de utilidad pero si aún con todo y esto hubiese duda alguna en su interpretación o algún concepto en particular, no duden en comentar para dejarlo resuelto.

Leyes de Newton.

Mapa Conceptual: Leyes de Newton

Movimiento.

Mapa de conceptos: Movimiento

Energía Mecánica.

 Mapa de conceptos: Energia Mecanica

 Si por alguna razon no es posible visualizar claramente estos mapas, sugiero que vean la siguiente presentación a modo de pantalla completa para que así puedan percatarse bien de cada uno de los conceptos que allí han sido incluidos.

Movimiento Mecánico

•9 octubre 2009 • 1 comentario

Otro concepto importante que debemos tener muy en claro es el movimiento mecánico y sus clasificaciones. A continuacion una presentación que expone estos temas.

Energía Mecánica

•9 octubre 2009 • Dejar un comentario

Para el tema de hoy he preparado una presentación que pone en evidencia los fundamentos de la energía mecánica así como la definición y modelos matemáticos de la energía cinética y potencial.